数据结构（12）_树的概念及通用树的实现
1.树的定义与操作
1.1.树的相关定义
1.树的定义
树是一种非线性的数据结构，右n(n>=0)个结点组成的有限集合，如果n=0,称为空树，如果n>0,则：
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- 有一个特定的结点被称之为跟结点(root)，根结点只有直接后继，没有前驱，
除根结点外的其他结点划分为m(m>=0)个互不相交的有限集合T0,T1...Tm-1，每一个集合又是一颗子树，并称之为跟的子树。
树的示例如下：
2.树中度的概念
树的结点包含一个数据及若干指向子树的分支，结点拥有的子树数目称为结点的度(度为0的结点称为叶结点；度不为0称为分支结点)；
树的度定义为所有结点中度的最大值。
3.树的前驱和后继
结点的直接后继称为该结点的孩子，相应的，该结点称为孩子的双亲；
结点的孩子的孩子，称为该结点的子孙，相应 该结点称为子孙的祖先；
同一个双亲的孩子之间互称兄弟。
4.树中结点的层次
树中结点最大层次称为树的深度或高度。
5.树的有序性
如果树中结点的各个子树从左向右是有次序的，子树间不能互换位置，则称该树为有序树，否则为无序树。
6.森林的概念
1.2.树的抽象定义
与其他的数据结构一样，树的常用操作包括：插入、删除、查找(获取树的节点)、获取树的高度/深度、获取树的度、清空树中的元素等。
1.2.1.树的抽象定义
template < typename T > class Tree : public Object { protected: TreeNode* m_root; public: Tree() { m_root = NULL; } virtual bool insert(TreeNode * node) = 0; virtual bool insert(const T& value, TreeNode * node) = 0; virtual SharedPointer * node) = 0; virtual SharedPointer * find(TreeNode * node) const = 0; virtual TreeNode * find(const T& value) const = 0; virtual TreeNode * root() const = 0; virtual int degree() const = 0; virtual int hight() const = 0; virtual int count() const = 0; virtual void clear() =0; }; 1..2.2.树的节点的抽象定义
树的节点也表现为一种特殊的数据类型
template < typename T > class TreeNode : public Object { public: TreeNode* m_parent; TreeNode() { m_parent = NULL; } virtual ~TreeNode() = 0; }; 树与节点的类关系：都继承自顶层父类Object，通过树的节点与树形成组合关系。
总结：- 树是一种非线性的数据结构，拥有唯一前驱(父节点)和若干后继(子节点)；
- 树的结点包含一个数据及若干指向其他节点的指针，在程序中表现为一种特殊的数据类型。
2.树的存储结构设计
课程目标：完成树和结点的存储结构设计。
前面我们实现了树的抽象结构，本节我们实现一个通用树结构的基本框架。类继承结构如下图所示：
设计要点：
1.GTree为通用树结构，每个结点可以存在多个后继结点；
2.GTreeNode能够包含任意多指向后继结点的指针
3.实现树结构的所有操作(增、删、查、改、等)2.1.GTreeNode的设计与实现
我们使用单链表组合完成GTreeNode的实现，便于在GTreeNode中存储多个指向其后继结点的指针；
template < typename T > class GTreeNode : public TreeNode{ public: LinkList 2.2.GTree的设计与实现
templateclass GTree : public Tree { }; 2.3.GTree(通用树结构)的架构实现
问题：每个树结中为什么要包含指向前驱结点的指针？
3. 树的通用操作实现
3.1.树中结点的查找操作
查找方式：
- 基于数据元素值的查找
GTreeNode<T>* find(const T& value) const 基于结点的查找
GTreeNode<T>* find(TreeNode<T>* node) const
基于数据元素值的查找：
定义功能函数：find (node, value)，在node为根结点的树中递归查找value所在的节点
GTreeNode* find(GTreeNode * node, const T& value)const { GTreeNode * ret = NULL; if(node != NULL) { //如果根结点的就是目标结点 if(node->value == value) { ret = node; } else { //遍历根节点的子结点 for(node->m_children.move(0); !node->m_children.end() && (ret == NULL); node->m_children.next()) { //对每个子子结点进行查找 ret = find(node->m_children.current(), value); } } } return ret; } //查找结点 virtual GTreeNode * find(const T& value)const { return find(root(), value); } 基于结点的查找：
定义功能函数：find(node, obj)，在node为根结点的树中递归查找是否存在obj结点；
GTreeNode* find(GTreeNode * node, GTreeNode * obj)const { GTreeNode * ret = NULL; //根结点为目标结点 if(node == obj) { ret = node; } else { if(node != NULL) { //遍历子结点 for(node->m_children.move(0); !node->m_children.end() && (ret == NULL); node->m_children.next()) { ret = find(node->m_children.current(), obj); } } } return ret; } virtual GTreeNode * find(TreeNode * node)const { return find(root(), dynamic_cast 总结：
1.查找操作是树的关键操作之一，插入函删除操作都依赖于查找操作；
2.基于数据元素的查找可以判断值是否存在于树中；基于结点的查找可以判断树中是否存在指定结点；3.1.树中结点的插入操作
插入方式：
- 插入新的结点
bool insert(TreeNode<T>* node) - 插入新的数据元素
bool insert(const T& value,TreeNode<T>* parent)
问题：如何指定新结点在树中的位置？
1.树是非线性的，无法采用下标的形式定位数据元素
2.每一个树结点都有一个唯一的前驱结点(父节点)，必须先找到前驱结点才能完成结点的插入；
插入节点操作
bool insert(TreeNode* node) { bool ret = true; if(node != NULL) { //树为空，插入结点为根结点 if(this->m_root == NULL) { node->parent = NULL; this->m_root = node; } else { //找到插入结点的父结点 GTreeNode * np = find(node->parent); if(np != NULL) { GTreeNode * n = dynamic_cast 插入数据元素：
bool insert(const T& value, TreeNode* parent) { bool ret = true; GTreeNode * node = GTreeNode ::NewNode(); if(node != NULL) { node->value = value; node->parent = parent; insert(node); } else { THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "No enough memory..."); } return ret; } 总结：
1.插入操作是构建树的唯一操作，需要从堆空间中创建结点
2.执行插入操作必须正确处理指向父节点的指针
3.3.树中结点的清除操作
3.3.1.清除操作
清除操作的定义：void clear() //将树中的所有节点清除(释放堆中的节点)
清除操作功能函数定义：
free(node) //清除node为根结点的树，释放树中的每一个结点
问题：树中的结点可能来源于不同的存储空间，如何判断堆空间中的结点并释放？
1.单凭内存地址很难准确判断具体的存储区域；
2.只有堆空间的内存才需要主动释放(delete)
3.清除操作时只需要对堆中的结点进行释放
3.3.2.工厂模式
1.在GTreeNode中增加保护成员m_flag;
2.将GTreeNode中的operator new重载为保护成员函数；
3.提供工厂方法GTreeNode
4.在工厂方法中new新结点并将m_flage设置为true;
树结点的工厂模式示例：
template
class GTreeNode:public TreeNode
{
protected:
bool m_flag;//堆空间标识
//重载new操作符，声明为保护
void* operator new(unsigned int size)throw()
{
return Object::operator new(size);
}
public:
LinkedList*> m_children;
GTreeNode()
{
//栈上分配的空间标识为false
m_flag = false;
}
//工厂方法，创建堆空间的结点
static GTreeNode* NewNode()
{
GTreeNode* ret = new GTreeNode();
if(ret != NULL)
{
//堆空间的结点标识为true
ret->m_flag = true;
}
return ret;
}
//堆空间结点标识访问函数
bool flag()const
{
return m_flag;
}
};
//结点的释放：
void free(GTreeNode* node)
{
if(node != NULL)
{
for(node->m_children.move(0); !node->m_children.end(); node->m_children.next())
{
free(node->m_children.current());
}
//如果结点存储在堆空间
if(node->flag())
delete node;//释放
}
}
//清空树：
void clear()
{
free(root());
this->m_root = NULL;
} 总结：
1.清除操作用于销毁树中的每个结点，需要释放对应的内存空间；
2.工厂模式可用于“定制”堆空间中的结点，只有销毁定制结点的时候需要进行释放
3.4树中结点的删除操作
删除的方式：
- 基于数据元素的删除
SharedPointer< Tree<T> > remove(const T& value) 基于结点的删除
SharedPointer< Tree<T> > remove(TreeNode<T>* node)
删除操作成员函数的操作要点：
1.被删除的结点所代表的子树进行删除；
2.删除函数返回一棵树堆空间中的树
3.具体返回值为指向树的智能指针对象
实用的设计原则：
当需要从函数中返回堆中的对象时，使用智能指针(SharedPointer)作为函数的返回值。
删除操作功能函数定义：void remove(GTreeNode<T>* node, GTree<T>*& ret)
1.将node为根结点的子树从原来的树中删除
2.Ret做为子树返回(ret指向堆空间中的树对象)
// 删除操作功能函数 void remove(GTreeNode* node, GTree *& ret) { ret = new GTree (); if(ret != NULL) { //如果删除的结点是根结点 if(root() == node) { this->m_root = NULL; } else { //获取删除结点的父结点的子结点链表 LinkedList * ret = NULL; //找到结点 GTreeNode * node = find(value); if(node != NULL) { remove(node, ret); } else { THROW_EXCEPTION(InvalidParameterException, "Parameter invalid..."); } return ret; } // B、基于结点删除 SharedPointer * node) { GTree * ret = NULL; node = find(node); if(node != NULL) { remove(dynamic_cast 总结：
1.删除操作将目标节点所代表的子树移除，返回值为指向树智能指针对象；
2.删除操作必须完善处理父节点和子节点的关系；
3.函数中返回堆中的对象时，使用智能指针作为返回值。3.5.树的属性操作实现
3.5.1.树中结点的数目
定义功能，count(node)，在node为根结点的树中统计结点数目。
使用递归实现：结点数目 = 子树结点数目+1(根结点)。
int count(GTreeNode* node) const
{
int ret = 0;
if(node != NULL)
{
ret = 1;//根结点
//遍历根节点的子结点
for(node->m_children.move(0); !node->m_children.end(); node->m_children.next())
{
ret += count(node->m_children.current());
}
}
return ret;
}
//树的结点数目访问函数
int count()const
{
count(root());
} 3.5.2.树的高度
功能定义：height(node)，获取node为根结点的树的高度。
递归实现：树的高度 = 子树结点高度的最大值 + 1(根结点)。
int degree(GTreeNode* node) const
{
int ret = 0;
if(node != NULL)
{
//结点的子结点的数量
ret = node->m_children.length();
//遍历子结点
for(node->m_children.move(0); !node->m_children.end(); node->m_children.next())
{
int d = degree(node->m_children.current());
if(ret < d)
{
ret = d;
}
}
}
return ret;
}
//树的度访问函数
int degree()const
{
return degree(root());
} 3.5.3.树的度数
功能定义：degree(node)，获取node为结点的树的度数。
递归实现：树的度数 = 子树的最大度数 + 1(根结点)
int height(GTreeNode* node)const
{
int ret = 0;
if(node != NULL)
{
//遍历子结点
for(node->m_children.move(0); !node->m_children.end(); node->m_children.next())
{
//当前结点的高度
int h = height(node->m_children.current());
if(ret < h)
{
ret = h;
}
}
ret = ret + 1;
}
return ret;
}
//树的高度访问函数
int height()const
{
height(root());
} 3.6.树形结构的层次遍历
问题：如何按照层次遍历通用树结构中的每一个数据元素？
当前的事实：- 树是一种非线性的数据结构，树的节点没有固定的编号方式；
新的需求：- 为通用树结构提供新的方法，快速遍历每一个节点
设计思路：
在树中定义一个新游标(GTreeNode
提供一组遍历相关的函数，按层次访问树中的数据元素。
层次遍历算法：
原料：class LinkQueue
思想：
- begin() 将根结点压人队列中
- current() 访问队头指向的数据元素
- next() 队头元素弹出，将队头元素的孩子压入队列中(核心)
end() 判断队列是否为空
//将根结点压入队列中 bool begin() { bool ret = (root() != NULL); if(ret) { //清空队列 m_queue.clear(); //根节点加入队列 m_queue.add(root()); } return ret; } //判断队列是否为空 bool end() { return (m_queue.length() == 0); } //队头元素弹出，将队头元素的孩子压入队列中 bool next() { bool ret = (m_queue.length() > 0); if(ret) { GTreeNode* node = m_queue.front(); m_queue.remove();//队头元素出队 //将队头元素的子结点入队 for(node->m_children.move(0); !node->m_children.end(); node->m_children.next()) { m_queue.add(node->m_children.current()); } } return ret; } //访问队头元素指向的数据元素 T current() { if(!end()) { return m_queue.front()->value; } else { THROW_EXCEPTION(InvalidOperationException, "No value at current Node..."); } } 总结：
1.树的结点没有固定的编号方式，可以按照层次关系堆树中的结点进行遍历；
2.通过游标的思想设计成员函数，遍历函数是相互依赖，相互配合的；
3.遍历操作的核心是队列的使用。4. 通用树的最终实现
4.1 GTree的实现
templateclass GTree : public Tree { protected: LinkQueue &); GTree & operator =(const GTree &); //容器的内容不能复制 GTreeNode * find(GTreeNode * node, const T& value) const { GTreeNode * ret = NULL; if(node != NULL) { if(node->value == value) { ret = node; } else { // 遍历单链表(树中子结点的指针)， for(node->child.move(0); (!node->child.end()) && (ret==NULL); node->child.next()) { ret = find(node->child.current(), value); } } } return ret; } GTreeNode * find(GTreeNode * node, GTreeNode * obj) const { GTreeNode * ret = NULL; if(node != NULL) { if(node == obj) { ret = node; } else { for(node->child.move(0);!node->child.end() && (ret == NULL);node->child.next()) { ret = find(node->child.current(),obj); } } } return ret; } //清空数的功能函数，递归是释放每个子树 void free(GTreeNode * node) { if(node != NULL) //递归出口 { for(node->child.move(0); !node->child.end(); node->child.next()) { free(node->child.current()); } //如果结点存在于堆空间，则释放 if(node->flag()) { delete node; } /*else { cout << node->value << endl; }*/ } } // 删除操作的功能函数，(1.将node为根结点的子树从原来的树中删除 2.Ret做为子树返回(ret指向堆空间中的树对象)) void remove(GTreeNode * node, GTree *& ret) //ret 是一个指针的别名 { ret = new GTree(); if(ret != NULL) { if(node == root()) { this->m_root = NULL; } else { //获取删除结点的父结点的子结点链表 LinkList * node) const { int ret = 0; if(node != NULL) { ret = 1; //根结点 //递归计算子树的节点 for(node->child.move(0); !node->child.end(); node->child.next()) { ret += count(node->child.current()); } } return ret; } int height(GTreeNode * node) const { int ret = 0; if(node != NULL) { for(node->child.move(0); !node->child.end(); node->child.next()) { int h = height(node->child.current()); if(h > ret) //获取子树高度的最大值 { ret = h; } } ret = ret + 1/*根结点*/; } return ret; } int degree(GTreeNode * node) const { int ret = 0; if(node != NULL) { ret = node->child.length(); for(node->child.move(0); !node->child.end(); node->child.next()) { int d = degree(node->child.current()); if(ret < d) { ret = d; //获取子树高度的最大度数 } } } return ret; } public: GTree(){} bool insert(TreeNode * node) { bool ret = true; if(node != NULL) { if(this->m_root == NULL) { this->m_root = node; node->m_parent = NULL; } else { GTreeNode * np = find(node->m_parent); if(np != NULL) { GTreeNode * n = dynamic_cast * parent) { bool ret = true; GTreeNode * node = GTreeNode ::NewNode(); if(node != NULL) { node->value = value; node->m_parent = parent; insert(node); } else { THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "no memory to create node... "); } return ret; } SharedPointer< Tree > remove(const T& value) { GTree * ret = NULL; GTreeNode * node = find(value); if(node != NULL) { remove(node, ret); m_queue.clear(); m_queue.clear(); } else { THROW_EXCEPTION(InvaildParemeterException, "invaild paremeter..."); } return ret; } SharedPointer< Tree > remove(TreeNode * node) { GTree * ret = NULL; node = find(node); if(node != NULL) { remove(dynamic_cast * find(const T& value) const { return find(root(),value); } GTreeNode * find(TreeNode * node) const { return find(root(), dynamic_cast * root() const { return dynamic_cast * node = m_queue.front(); m_queue.dequeue(); for(node->child.move(0); !node->child.end(); node->child.next()) { m_queue.enqueue(node->child.current()); } } return ret; } T current() { if(!end()) { return m_queue.front()->value; } else { THROW_EXCEPTION(InvalidOperationException, "invalid operation ..."); } } ~GTree() { clear(); m_queue.clear(); } };
4.2. GTreeNode的实现
template < typename T >
class GTreeNode : public TreeNode
{
protected:
//堆空间标识,如果在堆空间中创建了结点，则置为true，以便后续释放结点时判断结点是否创建自堆空间
bool m_flag;
GTreeNode(const GTreeNode&);
GTreeNode& operator =(const GTreeNode&); //容器的内容不能复制
//重载new操作符，声明为保护成员
void* operator new(unsigned int size)throw()
{
return Object::operator new(size);
}
public:
LinkList*> child;
GTreeNode()
{
m_flag = false;
}
static GTreeNode* NewNode()
{
GTreeNode* ret = new GTreeNode();
if(ret != NULL)
{
ret->m_flag = true; //在堆空间中申请了结点，则将该标识置为true
}
return ret;
}
//堆空间结点标识访问函数
bool flag()const
{
return m_flag;
}
~GTreeNode(){}
};
文章标题：数据结构（12）_树的概念及通用树的实现
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