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万字教你如何用 Python 实现线性规划

想象一下，您有一个线性方程组和不等式系统。这样的系统通常有许多可能的解决方案。线性规划是一组数学和计算工具，可让您找到该系统的特定解，该解对应于某些其他线性函数的最大值或最小值。

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混合整数线性规划是 线性规划 的扩展。它处理至少一个变量采用离散整数而不是连续值的问题。尽管乍一看混合整数问题与连续变量问题相似，但它们在灵活性和精度方面具有显着优势。

整数变量对于正确表示自然用整数表示的数量很重要，例如生产的飞机数量或服务的客户数量。

一种特别重要的整数变量是 二进制变量 。它只能取 零 或 一 的值，在做出是或否的决定时很有用，例如是否应该建造工厂或者是否应该打开或关闭机器。您还可以使用它们来模拟逻辑约束。

线性规划是一种基本的优化技术，已在科学和数学密集型领域使用了数十年。它精确、相对快速，适用于一系列实际应用。

混合整数线性规划允许您克服线性规划的许多限制。您可以使用分段线性函数近似非线性函数、使用半连续变量、模型逻辑约束等。它是一种计算密集型工具，但计算机硬件和软件的进步使其每天都更加适用。

通常，当人们试图制定和解决优化问题时，第一个问题是他们是否可以应用线性规划或混合整数线性规划。

以下文章说明了线性规划和混合整数线性规划的一些用例：

随着计算机能力的增强、算法的改进以及更多用户友好的软件解决方案的出现，线性规划，尤其是混合整数线性规划的重要性随着时间的推移而增加。

解决线性规划问题的基本方法称为，它有多种变体。另一种流行的方法是。

混合整数线性规划问题可以通过更复杂且计算量更大的方法来解决，例如，它在幕后使用线性规划。这种方法的一些变体是，它涉及使用 切割平面 ，以及。

有几种适用于线性规划和混合整数线性规划的合适且众所周知的 Python 工具。其中一些是开源的，而另一些是专有的。您是否需要免费或付费工具取决于问题的规模和复杂性，以及对速度和灵活性的需求。

值得一提的是，几乎所有广泛使用的线性规划和混合整数线性规划库都是以 Fortran 或 C 或 C++ 原生和编写的。这是因为线性规划需要对（通常很大）矩阵进行计算密集型工作。此类库称为求解器。Python 工具只是求解器的包装器。

Python 适合围绕本机库构建包装器，因为它可以很好地与 C/C++ 配合使用。对于本教程，您不需要任何 C/C++（或 Fortran），但如果您想了解有关此酷功能的更多信息，请查看以下资源：

基本上，当您定义和求解模型时，您使用 Python 函数或方法调用低级库，该库执行实际优化工作并将解决方案返回给您的 Python 对象。

几个免费的 Python 库专门用于与线性或混合整数线性规划求解器交互：

在本教程中，您将使用SciPy和PuLP来定义和解决线性规划问题。

在本节中，您将看到线性规划问题的两个示例：

您将在下一节中使用 Python 来解决这两个问题。

考虑以下线性规划问题：

你需要找到X和Ÿ使得红色，蓝色和黄色的不平等，以及不平等X 0和ÿ 0，是满意的。同时，您的解决方案必须对应于z的最大可能值。

您需要找到的自变量（在本例中为 x 和 y ）称为 决策变量 。要最大化或最小化的决策变量的函数（在本例中为 z） 称为 目标函数 、 成本函数 或仅称为 目标 。您需要满足的 不等式 称为 不等式约束 。您还可以在称为 等式约束 的约束中使用方程。

这是您如何可视化问题的方法：

红线代表的功能2 X + Ý = 20，和它上面的红色区域示出了红色不等式不满足。同样，蓝线是函数 4 x + 5 y = 10，蓝色区域被禁止，因为它违反了蓝色不等式。黄线是 x + 2 y = 2，其下方的黄色区域是黄色不等式无效的地方。

如果您忽略红色、蓝色和黄色区域，则仅保留灰色区域。灰色区域的每个点都满足所有约束，是问题的潜在解决方案。该区域称为 可行域 ，其点为 可行解 。在这种情况下，有无数可行的解决方案。

您想最大化z。对应于最大z的可行解是 最优解 。如果您尝试最小化目标函数，那么最佳解决方案将对应于其可行的最小值。

请注意，z是线性的。你可以把它想象成一个三维空间中的平面。这就是为什么最优解必须在可行区域的 顶点 或角上的原因。在这种情况下，最佳解决方案是红线和蓝线相交的点，稍后您将看到。

有时，可行区域的整个边缘，甚至整个区域，都可以对应相同的z值。在这种情况下，您有许多最佳解决方案。

您现在已准备好使用绿色显示的附加等式约束来扩展问题：

方程式 x + 5 y = 15，以绿色书写，是新的。这是一个等式约束。您可以通过向上一张图像添加相应的绿线来将其可视化：

现在的解决方案必须满足绿色等式，因此可行区域不再是整个灰色区域。它是绿线从与蓝线的交点到与红线的交点穿过灰色区域的部分。后一点是解决方案。

如果插入x的所有值都必须是整数的要求，那么就会得到一个混合整数线性规划问题，可行解的集合又会发生变化：

您不再有绿线，只有沿线的x值为整数的点。可行解是灰色背景上的绿点，此时最优解离红线最近。

这三个例子说明了 可行的线性规划问题 ，因为它们具有有界可行区域和有限解。

如果没有解，线性规划问题是 不可行的 。当没有解决方案可以同时满足所有约束时，通常会发生这种情况。

例如，考虑如果添加约束x + y 1会发生什么。那么至少有一个决策变量（x或y）必须是负数。这与给定的约束x 0 和y 0相冲突。这样的系统没有可行的解决方案，因此称为不可行的。

另一个示例是添加与绿线平行的第二个等式约束。这两行没有共同点，因此不会有满足这两个约束的解决方案。

一个线性规划问题是 无界的 ，如果它的可行区域是无界，将溶液不是有限。这意味着您的变量中至少有一个不受约束，可以达到正无穷大或负无穷大，从而使目标也无限大。

例如，假设您采用上面的初始问题并删除红色和黄色约束。从问题中删除约束称为 放松 问题。在这种情况下，x和y不会在正侧有界。您可以将它们增加到正无穷大，从而产生无限大的z值。

在前面的部分中，您研究了一个与任何实际应用程序无关的抽象线性规划问题。在本小节中，您将找到与制造业资源分配相关的更具体和实用的优化问题。

假设一家工厂生产四种不同的产品，第一种产品的日产量为x ₁，第二种产品的产量为x 2，依此类推。目标是确定每种产品的利润最大化日产量，同时牢记以下条件：

数学模型可以这样定义：

目标函数（利润）在条件 1 中定义。人力约束遵循条件 2。对原材料 A 和 B 的约束可以从条件 3 和条件 4 中通过对每种产品的原材料需求求和得出。

最后，产品数量不能为负，因此所有决策变量必须大于或等于零。

与前面的示例不同，您无法方便地将其可视化，因为它有四个决策变量。但是，无论问题的维度如何，原理都是相同的。

在本教程中，您将使用两个Python 包来解决上述线性规划问题：

SciPy 设置起来很简单。安装后，您将拥有开始所需的一切。它的子包 scipy.optimize 可用于线性和非线性优化。

PuLP 允许您选择求解器并以更自然的方式表述问题。PuLP 使用的默认求解器是COIN-OR Branch and Cut Solver (CBC)。它连接到用于线性松弛的COIN-OR 线性规划求解器 (CLP)和用于切割生成的COIN-OR 切割生成器库 (CGL)。

另一个伟大的开源求解器是GNU 线性规划工具包 (GLPK)。一些著名且非常强大的商业和专有解决方案是Gurobi、CPLEX和XPRESS。

除了在定义问题时提供灵活性和运行各种求解器的能力外，PuLP 使用起来不如 Pyomo 或 CVXOPT 等替代方案复杂，后者需要更多的时间和精力来掌握。

要学习本教程，您需要安装 SciPy 和 PuLP。下面的示例使用 SciPy 1.4.1 版和 PuLP 2.1 版。

您可以使用pip以下方法安装两者：

您可能需要运行pulptest或sudo pulptest启用 PuLP 的默认求解器，尤其是在您使用 Linux 或 Mac 时：

或者，您可以下载、安装和使用 GLPK。它是免费和开源的，适用于 Windows、MacOS 和 Linux。在本教程的后面部分，您将看到如何将 GLPK（除了 CBC）与 PuLP 一起使用。

在 Windows 上，您可以下载档案并运行安装文件。

在 MacOS 上，您可以使用 Homebrew：

在 Debian 和 Ubuntu 上，使用apt来安装glpk和glpk-utils：

在Fedora，使用dnf具有glpk-utils：

您可能还会发现conda对安装 GLPK 很有用：

安装完成后，可以查看GLPK的版本：

有关详细信息，请参阅 GLPK 关于使用Windows 可执行文件和Linux 软件包进行安装的教程。

在本节中，您将学习如何使用 SciPy优化和求根库进行线性规划。

要使用 SciPy 定义和解决优化问题，您需要导入scipy.optimize.linprog()：

现在您已经linprog()导入，您可以开始优化。

让我们首先解决上面的线性规划问题：

linprog()仅解决最小化（而非最大化）问题，并且不允许具有大于或等于符号 ( ) 的不等式约束。要解决这些问题，您需要在开始优化之前修改您的问题：

引入这些更改后，您将获得一个新系统：

该系统与原始系统等效，并且将具有相同的解决方案。应用这些更改的唯一原因是克服 SciPy 与问题表述相关的局限性。

下一步是定义输入值：

您将上述系统中的值放入适当的列表、元组或NumPy 数组中：

注意：请注意行和列的顺序！

约束左侧和右侧的行顺序必须相同。每一行代表一个约束。

来自目标函数和约束左侧的系数的顺序必须匹配。每列对应一个决策变量。

下一步是以与系数相同的顺序定义每个变量的界限。在这种情况下，它们都在零和正无穷大之间：

此语句是多余的，因为linprog()默认情况下采用这些边界（零到正无穷大）。

注：相反的float("inf")，你可以使用math.inf，numpy.inf或scipy.inf。

最后，是时候优化和解决您感兴趣的问题了。你可以这样做linprog()：

参数c是指来自目标函数的系数。A_ub和b_ub分别与不等式约束左边和右边的系数有关。同样，A_eq并b_eq参考等式约束。您可以使用bounds提供决策变量的下限和上限。

您可以使用该参数method来定义要使用的线性规划方法。有以下三种选择：

linprog() 返回具有以下属性的数据结构：

您可以分别访问这些值：

这就是您获得优化结果的方式。您还可以以图形方式显示它们：

如前所述，线性规划问题的最优解位于可行区域的顶点。在这种情况下，可行区域只是蓝线和红线之间的绿线部分。最优解是代表绿线和红线交点的绿色方块。

如果要排除相等（绿色）约束，只需删除参数A_eq并b_eq从linprog()调用中删除：

解决方案与前一种情况不同。你可以在图表上看到：

在这个例子中，最优解是红色和蓝色约束相交的可行（灰色）区域的紫色顶点。其他顶点，如黄色顶点，具有更高的目标函数值。

您可以使用 SciPy 来解决前面部分所述的资源分配问题：

和前面的例子一样，你需要从上面的问题中提取必要的向量和矩阵，将它们作为参数传递给.linprog()，然后得到结果：

结果告诉您最大利润是1900并且对应于x ₁ = 5 和x ₃ = 45。在给定条件下生产第二和第四个产品是没有利润的。您可以在这里得出几个有趣的结论：

opt.statusis0和opt.successis True，说明优化问题成功求解，最优可行解。

SciPy 的线性规划功能主要用于较小的问题。对于更大和更复杂的问题，您可能会发现其他库更适合，原因如下：

幸运的是，Python 生态系统为线性编程提供了几种替代解决方案，这些解决方案对于更大的问题非常有用。其中之一是 PuLP，您将在下一节中看到它的实际应用。

PuLP 具有比 SciPy 更方便的线性编程 API。您不必在数学上修改您的问题或使用向量和矩阵。一切都更干净，更不容易出错。

像往常一样，您首先导入您需要的内容：

现在您已经导入了 PuLP，您可以解决您的问题。

您现在将使用 PuLP 解决此系统：

第一步是初始化一个实例LpProblem来表示你的模型：

您可以使用该sense参数来选择是执行最小化（LpMinimize或1，这是默认值）还是最大化（LpMaximize或-1）。这个选择会影响你的问题的结果。

一旦有了模型，就可以将决策变量定义为LpVariable类的实例：

您需要提供下限，lowBound=0因为默认值为负无穷大。该参数upBound定义了上限，但您可以在此处省略它，因为它默认为正无穷大。

可选参数cat定义决策变量的类别。如果您使用的是连续变量，则可以使用默认值"Continuous"。

您可以使用变量x和y创建表示线性表达式和约束的其他 PuLP 对象：

当您将决策变量与标量相乘或构建多个决策变量的线性组合时，您会得到一个pulp.LpAffineExpression代表线性表达式的实例。

注意：您可以增加或减少变量或表达式，你可以乘他们常数，因为纸浆类实现一些Python的特殊方法，即模拟数字类型一样__add__()，__sub__()和__mul__()。这些方法用于像定制运营商的行为+，-和*。

类似地，您可以将线性表达式、变量和标量与运算符 ==、=以获取表示模型线性约束的纸浆.LpConstraint实例。

注：也有可能与丰富的比较方法来构建的约束.__eq__()，.__le__()以及.__ge__()定义了运营商的行为==，=。

考虑到这一点，下一步是创建约束和目标函数并将它们分配给您的模型。您不需要创建列表或矩阵。只需编写 Python 表达式并使用+=运算符将它们附加到模型中：

在上面的代码中，您定义了包含约束及其名称的元组。LpProblem允许您通过将约束指定为元组来向模型添加约束。第一个元素是一个LpConstraint实例。第二个元素是该约束的可读名称。

设置目标函数非常相似：

或者，您可以使用更短的符号：

现在您已经添加了目标函数并定义了模型。

注意：您可以使用运算符将 约束或目标附加到模型中，+=因为它的类LpProblem实现了特殊方法.__iadd__()，该方法用于指定 的行为+=。

对于较大的问题，lpSum()与列表或其他序列一起使用通常比重复+运算符更方便。例如，您可以使用以下语句将目标函数添加到模型中：

它产生与前一条语句相同的结果。

您现在可以看到此模型的完整定义：

模型的字符串表示包含所有相关数据：变量、约束、目标及其名称。

注意：字符串表示是通过定义特殊方法构建的.__repr__()。有关 的更多详细信息.__repr__()，请查看Pythonic OOP 字符串转换：__repr__vs__str__ .

最后，您已准备好解决问题。你可以通过调用.solve()你的模型对象来做到这一点。如果要使用默认求解器 (CBC)，则不需要传递任何参数：

.solve()调用底层求解器，修改model对象，并返回解决方案的整数状态，1如果找到了最优解。有关其余状态代码，请参阅LpStatus[]。

你可以得到优化结果作为 的属性model。该函数value()和相应的方法.value()返回属性的实际值：

model.objective持有目标函数model.constraints的值，包含松弛变量的值，以及对象x和y具有决策变量的最优值。model.variables()返回一个包含决策变量的列表：

如您所见，此列表包含使用 的构造函数创建的确切对象LpVariable。

结果与您使用 SciPy 获得的结果大致相同。

注意：注意这个方法.solve()——它会改变对象的状态，x并且y！

您可以通过调用查看使用了哪个求解器.solver：

输出通知您求解器是 CBC。您没有指定求解器，因此 PuLP 调用了默认求解器。

如果要运行不同的求解器，则可以将其指定为 的参数.solve()。例如，如果您想使用 GLPK 并且已经安装了它，那么您可以solver=GLPK(msg=False)在最后一行使用。请记住，您还需要导入它：

现在你已经导入了 GLPK，你可以在里面使用它.solve()：

该msg参数用于显示来自求解器的信息。msg=False禁用显示此信息。如果要包含信息，则只需省略msg或设置msg=True。

您的模型已定义并求解，因此您可以按照与前一种情况相同的方式检查结果：

使用 GLPK 得到的结果与使用 SciPy 和 CBC 得到的结果几乎相同。

一起来看看这次用的是哪个求解器：

正如您在上面用突出显示的语句定义的那样model.solve(solver=GLPK(msg=False))，求解器是 GLPK。

您还可以使用 PuLP 来解决混合整数线性规划问题。要定义整数或二进制变量，只需传递cat="Integer"或cat="Binary"到LpVariable。其他一切都保持不变：

在本例中，您有一个整数变量并获得与之前不同的结果：

Nowx是一个整数，如模型中所指定。（从技术上讲，它保存一个小数点后为零的浮点值。）这一事实改变了整个解决方案。让我们在图表上展示这一点：

如您所见，最佳解决方案是灰色背景上最右边的绿点。这是两者的最大价值的可行的解决方案x和y，给它的最大目标函数值。

GLPK 也能够解决此类问题。

现在你可以使用 PuLP 来解决上面的资源分配问题：

定义和解决问题的方法与前面的示例相同：

在这种情况下，您使用字典 x来存储所有决策变量。这种方法很方便，因为字典可以将决策变量的名称或索引存储为键，将相应的LpVariable对象存储为值。列表或元组的LpVariable实例可以是有用的。

上面的代码产生以下结果：

如您所见，该解决方案与使用 SciPy 获得的解决方案一致。最有利可图的解决方案是每天生产5.0第一件产品和45.0第三件产品。

让我们把这个问题变得更复杂和有趣。假设由于机器问题，工厂无法同时生产第一种和第三种产品。在这种情况下，最有利可图的解决方案是什么？

现在您有另一个逻辑约束：如果x ₁ 为正数，则x ₃ 必须为零，反之亦然。这是二元决策变量非常有用的地方。您将使用两个二元决策变量y ₁ 和y ₃，它们将表示是否生成了第一个或第三个产品：

除了突出显示的行之外，代码与前面的示例非常相似。以下是差异：

这是解决方案：

事实证明，最佳方法是排除第一种产品而只生产第三种产品。

就像有许多资源可以帮助您学习线性规划和混合整数线性规划一样，还有许多具有 Python 包装器的求解器可用。这是部分列表：

其中一些库，如 Gurobi，包括他们自己的 Python 包装器。其他人使用外部包装器。例如，您看到可以使用 PuLP 访问 CBC 和 GLPK。

您现在知道什么是线性规划以及如何使用 Python 解决线性规划问题。您还了解到 Python 线性编程库只是本机求解器的包装器。当求解器完成其工作时，包装器返回解决方案状态、决策变量值、松弛变量、目标函数等。

Python实操：手把手教你用Matplotlib把数据画出来

作者：迈克尔·贝耶勒（Michael Beyeler）

如需转载请联系华章 科技

如果已安装Anaconda Python版本，就已经安装好了可以使用的 Matplotlib。否则，可能要访问官网并从中获取安装说明：

正如使用np作为 NumPy 的缩写，我们将使用一些标准的缩写来表示 Matplotlib 的引入：

在本书中，plt接口会被频繁使用。

让我们创建第一个绘图。

假设想要画出正弦函数sin(x)的线性图。得到函数在x坐标轴上0≤x＜10内所有点的值。我们将使用 NumPy 中的 linspace 函数来在x坐标轴上创建一个从0到10的线性空间，以及100个采样点：

可以使用 NumPy 中的sin函数得到所有x点的值，并通过调用plt中的plot函数把结果画出来：

你亲自尝试了吗？发生了什么吗？有没有什么东西出现？

实际情况是，取决于你在哪里运行脚本，可能无法看到任何东西。有下面几种可能性：

1. 从.py脚本中绘图

如果从一个脚本中运行 Matplotlib，需要加上下面的这行调用：

在脚本末尾调用这个函数，你的绘图就会出现！

2. 从 IPython shell 中绘图

这实际上是交互式地执行Matplotlib最方便的方式。为了让绘图出现，需要在启动 IPython 后使用所谓的%matplotlib魔法命令。

接下来，无须每次调用plt.show()函数，所有的绘图将会自动出现。

3. 从 Jupyter Notebook 中绘图

如果你是从基于浏览器的 Jupyter Notebook 中看这段代码，需要使用同样的%matplotlib魔法命令。然而，也可以直接在notebook中嵌入图形，这会有两种输出选项：

在本书中，将会使用inline选项：

现在再次尝试一下：

上面的命令会得到下面的绘图输出结果：

如果想要把绘图保存下来留作以后使用，可以直接在 IPython 或者 Jupyter Notebook 使用下面的命令保存：

仅需要确保你使用了支持的文件后缀，比如.jpg、.png、.tif、.svg、.eps或者.pdf。

作为本章最后一个测试，让我们对外部数据集进行可视化，比如scikit-learn中的数字数据集。

为此，需要三个可视化工具：

那么开始引入这些包吧：

第一步是载入实际数据：

如果没记错的话，digits应该有两个不同的数据域：data域包含了真正的图像数据，target域包含了图像的标签。相对于相信我们的记忆，我们还是应该对digits稍加 探索 。输入它的名字，添加一个点号，然后按Tab键：digits.TAB，这个操作将向我们展示digits也包含了一些其他的域，比如一个名为images的域。images和data这两个域，似乎简单从形状上就可以区分。

两种情况中，第一维对应的都是数据集中的图像数量。然而，data中所有像素都在一个大的向量中排列，而images保留了各个图像8×8的空间排列。

因此，如果想要绘制出一副单独的图像，使用images将更加合适。首先，使用NumPy的数组切片从数据集中获取一幅图像：

这里是从1797个元素的数组中获取了它的第一行数据，这行数据对应的是8×8=64个像素。下面就可以使用plt中的imshow函数来绘制这幅图像：

上面的命令得到下面的输出：

此外，这里也使用cmap参数指定了一个颜色映射。默认情况下，Matplotlib 使用MATLAB默认的颜色映射jet。然而，在灰度图像的情况下，gray颜色映射更有效。

最后，可以使用plt的subplot函数绘制全部数字的样例。subplot函数与MATLAB中的函数一样，需要指定行数、列数以及当前的子绘图索引（从1开始计算）。我们将使用for 循环在数据集中迭代出前十张图像，每张图像都分配到一个单独的子绘图中。

这会得到下面的输出结果：

关于作者：Michael Beyeler，华盛顿大学神经工程和数据科学专业的博士后，主攻仿生视觉计算模型，用以为盲人植入人工视网膜（仿生眼睛），改善盲人的视觉体验。 他的工作属于神经科学、计算机工程、计算机视觉和机器学习的交叉领域。同时他也是多个开源项目的积极贡献者。

本文摘编自《机器学习：使用OpenCV和Python进行智能图像处理》，经出版方授权发布。

python 如何绘制线性函数图？

import matplotlib.pyplot as plt

plt.scatter(xdata,ydata)

(xdata,ydata为两个需要作图的数据集)

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如何用python表示一次函数

1、点击键盘win+r，打开运行窗口；在窗口中输入cmd"，点击确定，打开windows命令行窗口。

2、在cmd命令行窗口中输入"python"，进入python交互窗口。

3、引入matplotlib模块的pyplot()函数，并重命名为py;引入numpy模块，并重命名为np。

4、使用函数np.arrange(start，end，step)创建变量x的取值范围，是一个一维数组，使用y=3*x+1，创建y是与自变量x相对应的一维数组。

5、使用函数plt.plot(x，y)绘制一元一次函数y=3x+1的函数图像。

6、使用函数plt.title()给图像添加标题，使用函数plt.xlabel()给横轴添加标签，使用函数plt.ylabel()给纵轴添加标签，使用函数plt.tick_params()设置刻度标记的大小。

7、使用函数plt.show()显示整个一元一次函数的图像。

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