dynamics相位 相位描述

地震子波的动力学参数

由震源激发，经地下传播并被人们在地面或井中接收到的地震波通常是一个有一定长度的脉冲振动，在地球物理中称为地震子波。它是具有两个特征的信号:有确定的起始时间，能量有限、在很短时间内衰减消失。其基本属性是振动的非周期性。因此，它的动力学参数应有别于描述周期振动的振幅、频率、相位等参数，虽然也沿用这些术语，但除了振幅及相位的定义相同外，其余的要冠以“主”字，例如主频率、主周期、主波长等;而且，由于非周期振动是许多周期振动叠合而成，还需用振幅谱、相位谱等概念来描述。

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1.地震波的频谱

根据傅里叶变换理论，任何一个非周期的脉冲振动g(t)都可以用傅里叶积分写成如下形式

地震勘探

式中:t为时间，f为频率;G(f)为频谱，一般为复变函数;j为虚数。式(1-56)是表示一个非周期振动g(t)与周期性简谐振动之间的关系，它的物理意义是:任何一个非周期振动g(t)是由无限多个不同频率、不同振幅的简谐振动G(f)exp(j2πft)之和构成。每一个频率的简谐振动的振幅和初相位由复变函数G(f)决定，G(f)可以写成

地震勘探

其中A(f)、(f)都是实变函数。A(f)表示每个简谐振动分量的振幅，称为振幅谱;φ(f)表示每个简谐振动分量的初相位，称为相位谱。于是式(1-55)中的被积函数可以写成

地震勘探

可见A(f)表示了每个简谐分量对振动g(t)的贡献大小，而(f)表示组成g(t)的简谐振动之间在时间分布上的相互关系。图1-5表示由许多不同频率、不同振幅、不同起始相位的简谐振动合成一个非周期振动的示意图。

图1-5 简谐振动合成非周期振动示意图

图1-6 谱图

式(1-56)的物理意义是:如果已知非周期振动g(t)的形状，那么可以求得其频谱G(f)，进而按式(1-57)求得复变谱G(f)的模A(f)即是振幅谱(图1-6a)。即

地震勘探

式中G(f)=a(f)+jb(f)，a(f)表示G(f)的实部，b(f)表示G(f)的虚部。

复变谱G(f)的幅角是相位谱(图1-6b)。即

地震勘探

振幅谱和相位谱的物理意义十分明显，人们研究波的动力学特征，主要是研究影响这些频谱变化的规律。

式(1-55)和式(1-56)是一对傅里叶变换，前者称傅里叶正变换，后者为反变换，他们之间具有互相单值对应的关系。即任何一个形状的地震波都单一地对应有它的频谱，反之任何一个频谱都唯一地确定一个地震波波形。这就是说地震波的动力学特征既可以用随时间而变化的波形来描写，也可以用其频谱特性来表述。前者是地震波时间域表征，后者则是其频率域表征。由于它们具有单值对应性，因此在任何一个域内讨论都是等价的。

地震子波具有有限的能量，因此振动经过很短的一段时间即衰减为零。它的衰减时间长短称为地震子波的延续时间，它决定了地震勘探的分辨能力，地震子波的延续时间长度与它的频谱之频带宽度成反比。具有无限长延续时间的单频简谐振动对应着很窄的线谱。而仅有单位时间延续长度的δ脉冲则具有无限宽的白噪声频谱即是这种关系的极限例子。

2.地震波的振动图和波剖面图

根据波动方程一般解(1-46)式中的自变量 它既是时间(t)又是空间传播距离(x)的函数，因此就可以从不同的角度描述波动。若在某一固定的距离r=r1(r即x)上观测该处质点位移随时间的变化，用横坐标表示时间t，纵坐标表示质点位移u，这种由u—t坐标系表示的图形称为波的振动图，如图1-7a所示。

图1-7 地震波的振动图和波剖面图

可以用一系列术语来描述振动图。振动图的极值(正或负)称为波的相位，极值的大小称为波的振幅A，相邻极值(或正或负)之间的时间间隔为主(或视)周期T*，主周期的倒数称为主频率图上质点振动的起始时间t1和终了时间t2之间的时间长度Δt=t2-t1，即为波的延续时间。

如果观察时间t=t1时刻，波动在u—r坐标系中的状态。即横坐标代表波动离开震源的距离r，纵坐标仍表示质点离开平衡位置的位移u，这种图形称为波剖面图，如图1-7b所示。

同样，可以用一些术语来描述波剖面。波剖面上具有极大正位移的点称波峰，极大负位移的点称波谷。两相邻波峰(或谷)之间的距离称主(或视)波长λ*，主波长的倒数称为主波数

观察波剖面在介质中的传播路程可以看出，在波到达的介质处，介质的质点都离开平衡位置产生位移;由于岩石介质质点之间是紧密相连的，振动的质点又波及其邻近静止的质点使之振动，由此及彼，形成质点振动相互传递。波在介质传播的过程中，把介质划分为三个球形层(图1-8)。处于球形层内有阴影线的区域内的质点以各自的状态振动，该区称扰动区。其横截面即为波剖面。扰动区的最前端刚开始振动的质点与尚未振动的质点间的分界面称为波前(面)，而扰动区的另一个面是将要停止振动与已经停止振动的质点间之分界面则称为波尾(面)。对于纵波而言，扰动区内某一时刻一些质点互相靠近，形成局部密集带，而另一些质点却彼此离开，形成局部疏松带，结果在扰动区内构成了彼此相间的压缩和膨胀带，如图1-9所示。而且随着波的传播，介质中的压缩带和膨胀带交替更换。对于横波来说，由于其质点位移方向垂直于波的传播方向，在扰动区内，质点运动是与波前(或波尾)面相切的。

图1-8 波前传播原理

图1-9 纵波传播原理

3.地震波场的计算———克希霍夫公式

地震波在理想均匀无限弹性介质中传播时，如何计算波到达空间任一点的波场问题是地震动力学研究的重要内容之一。

早在1690年，惠更斯在描述波动传播时就提出一个原理，其要点是:任意时刻波前面上的每一点都可以看作一个新的波源，由它产生的二次扰动形成元波前，而以后新波前的位置可以认为是该时刻各元波前的包络(图1-10)。这就是著名的惠更斯原理。

图1-10 惠更斯原理示意图

以后菲涅尔补充了惠更斯原理，认为由波前面各点所形成的新扰动(二次扰动)在空间观测点上相互干涉叠加，其叠加结果是该点观测到的总扰动。惠更斯-菲涅尔原理从原则上提出了计算任一观测点波场的思想，但没有解决具体计算问题。

1883年著名德国学者克希霍夫首先解答了这个问题。他提出，如果围绕着观测点P所在的某一闭合曲面S的空间域T，可以计算点P处的位函数(x，y，z，t)。显然，它是由分布在T域内和域外的震源引起的。首先，要计算T域内各点震源P'引起的位函数，至于T域外的震源，可以证明它们的效果等于S曲面上的某个积分。于是，可用坐标(x，y，z)和(x'，y'，z')分别代表场点P和源点P'。用r和r'分别表示该两点的矢径(图1-11)。

图1-11 计算克希霍夫积分的空间域

而R=r-r'表示震源P'点到场点P的距离矢量。其值为R= 解φ由下述克希霍夫公式计算

地震勘探

式中:符号［］表示的是时刻 的而不是时刻t的对应函数值，故［φ］称为延迟位;ρ是T域内的震源分布函数或力位。T'是包围震源P'点的体积元。克希霍夫公式的推导涉及繁杂的计算，可参阅文献(何樵登，1986年《地震勘探原理与方法》)。这里，只指出按照具体情况的不同，公式(1-61)可以简化。例如，当闭合面外及面上均无震源时，面积分项为零，得

地震勘探

这就是非齐次波动方程的解，是由S面内震源发射的振动。当S面内没有震源时，式(1-61)为

地震勘探

这就是惠更斯原理的定量表达式。如果P点在T域以外时，则式(1-61)不能求解。

怎样验证动力学分析的结果

验证动力学分析的结果：质量矩阵，刚度矩阵，阻尼矩阵，节点位移向量是可以通过apdl导出的，然后你就可以写成上面的形式。不过由于算法的不同，可能导出的结果不满足等式右边不为0。

在时域或频域内定义各种动力学载荷，包括动态定义所有的静载荷、强迫位移、速度和加速度、初始速度和位移、延时、时间窗口、解析显式时间函数、实复相位和相角、作为结构响应函数的非线性载荷、基于位移和速度的非线性瞬态加载、随载荷或受迫运动不同而不同的时间历程等。

概述

动力学是理论力学的分支学科，研究作用于物体的力与物体运动的关系。动力学的研究对象是运动速度远小于光速的宏观物体。原子和亚原子粒子的动力学研究属于量子力学，可以比拟光速的高速运动的研究则属于相对论力学。动力学是物理学和天文学的基础，也是许多工程学科的基础。许多数学上的进展常与解决动力学问题有关，所以数学家对动力学有浓厚的兴趣。

以上内容参考：百度百科-动力学

观察液滴运动，又一篇Nature

在均质光滑的水平面上滴落一个液滴，直觉告诉我们液滴将要么静止，要么随机运动。 那么如果液滴是在垂直振动的液体浴表面上，其运动状态应该是怎样的呢？

早在2005年， 法国科学家 A. Boudaoud 发现小液滴可以在以高加速度垂直振动的液体浴上无限弹跳（Phys. Rev. Lett. 94, 177801 (2005).）。如果继续增加该加速度，可以使弹跳液滴在液体表面以恒定的水平速度“行走”， 值得注意的是，这个宏观系统的动力学和统计特征类似于微观量子系统 ，相关成果于2005年发表在 Nature 上（Nature 2005, 437, 208.）。

液滴运动模型帮助理解自旋系统，一篇Nature

在这项工作的基础上， 麻省理工学院 John W. M. Bush教授 课题组 发现弹跳液滴阵列可以模拟自旋系统（粒子的内在角动量），提出了“行走”液滴的流体动力学自旋晶格（HSL）作为一类具有粒子波耦合的主动自旋系统 。作者的这些发现可以增加对基于自旋的电子和计算的自旋系统的了解，并为未来的研究提供了令人兴奋的方向，从有源自旋波动力学到流体动力学模拟计算和基于液滴的拓扑绝缘体。相关研究成果以题为“Emergent order in hydrodynamic spin lattices”的论文发表于最新一期《Nature》上。

【物理模型】

为了帮助大家更好理解典型无序系统中有序现象的出现，首先介绍两个物理模型：（1）振荡器的动态同步（比如当一只萤火虫看到附近的其他萤火虫闪烁时，它会加快或减慢自己的闪烁速度以与相邻的萤火虫同步）；（2）自旋模型（在该模型中，自旋排列在晶格上，这些晶格与热浴处于热平衡状态）。

【HSL系统】

作者构筑了HSL系统，其是由一系列同相弹跳液滴组成，每个液滴由一个浸没的圆形井限制并在垂直振动的液体浴的表面上运行（图1a，1b）。作者通过振动力和晶格几何形状的变化，以及通过施加系统旋转来模拟外加磁场的影响，诱导一系列集体“磁”有序现象， 证明了HSL的可调谐性 。

首先，作者通过改变 驱动加速度（γ） 和 相邻井之间流体浴的深度（H） 来调整 自旋-自旋耦合的幅度 （图 1b）。当成对耦合足够强时，最近邻相互作用可能会导致自旋翻转，这种翻转可以促进整个晶格的相干集体动力学。然后作者通过研究自旋数（N）= 20等距井和L/λ F = 3.7 的一维周期性（圆形）HSL（图1a，d-h），验证了HSL可以支持不同类型的集体有序，具体取决于晶格间距（L）和法拉第波长（λ F ）之间的比率。从随机的初始自旋配置开始，作者观察到成对相互作用可以触发多次自旋翻转（图1d），导致瞬时磁化强度和自旋-自旋相关性的波动（图1e））。平均磁化强度消失⟨ M ⟩ 0，表明整体的镜像对称性得以保留（图1e）。然而，负的对相关⟨ χ ⟩ 0表明偏向于局部反铁磁有序（图1g）。保持L /λ F 固定，在非周期性边界条件、不同N值和不同晶格半径R 的实验中出现类似的反铁磁偏置，确认反铁磁有序是由晶格间距选择的。出现的反铁磁有序的强度非单调地取决于驱动幅度γ（图1h）。对于γ γ c 观察到最强的集体反铁磁响应，表明整体集体有序与单个自旋态的鲁棒性之间存在相关性（图1c）。对于反铁磁HSL，作者发现对同相旋转有很大的偏差（图1f），这意味着相干轨道同步和紧急自旋有序之间存在因果关系。

作者为了证明集体自旋动力学如何取决于晶格几何形状，对减小的晶格间距L /λ F = 2.8进行了一维实验（图2a-d）。实验表明晶格几何形状的变化可用于控制局部磁序，但不会导致整体镜像对称性破坏。为了使几何决定HSL中的集体自旋有序和相位同步的方式合理化， 作者从实验系统的详细流体动力学描述中导出了一个通用的相位振荡器模型 （图2e）。具体而言，有两个铁磁相FM 和两个反铁磁相AFM ，分别以优先同相（+）和异相（-）旋转为特征（图2f）。根据L，力参数α和β可以为正或为负，从而产生对应于耦合电位最小值的四个磁相。模型预测与实验数据非常吻合：反铁磁（图1d-f；L = 17.7 mm）和铁磁（图 2a-c；L = 13.2 mm）HSL 实验分别落在预测的AFM + 和FM + 范围内。

据报道，通过施加恒定磁场，反铁磁材料中的自旋可以重新排列成铁磁状态。作者通过以角速度（Ω）绕垂直轴旋转振动浴确定HSL是否可以经历类似的整体对称性破坏。当旋转方向由逆时针变为顺时针时，有效磁化强度（⟨ M ⟩）由正变负。然而向铁磁有序的转变需要超临界转速|Ω| Ωc 0.22 rad s 1 （图3e）。旋转也会影响成对相位同步：随着自旋动力学由科里奥利力（Coriolis force）主导，相位差变得不相关（图3c）。表征旋转框架中的单自旋动力学揭示了导致场致极化的机制（图3f，g）。

二维经典量子自旋晶格显示了其一维对应物所不具备的特征，包括几何不稳定性和拓扑排序。 HSL为在宏观尺度上 探索 这种影响提供了一个有前途的平台。 例如，在没有旋转的情况下（Ω= 0；图4b，c）促进反铁磁有序的方形 HSL（图4a），随着科里奥利力的增加而发生极化转变(图4e)。此外，补充数据中对较大晶格的模拟证实了方形晶格中集体磁序的出现。

【总结】

John W. M. Bush课题组展示了液滴在垂直振动的液体浴表面上弹跳的行为。由于水下井的存在，浴的深度不同。在一定条件下， 液滴产生逐渐衰减的表面波，使液滴沿着顺时针或逆时针的圆形轨迹运动并以复杂的方式相互作用。 当这些圆形井排列在具有小（毫米级）晶格间距的一维或二维晶格上时，根据晶格形状和尺寸以及实验条件， 液滴自旋的模式可以类似于铁磁性或反铁磁性中的磁自旋排列。

总的来说，液滴阵列可以同步它们的弹跳垂直运动的能力就像萤火虫同步它们的闪光一样，另一方面，液滴自旋可以通过微妙的流体动力学相互作用表现出图案形成和对称性破坏，类似于在磁自旋物理模型。 因此，该系统似乎结合了前面提到的两个物理模型。

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参考文献

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